10-1 齿轮机构的特点及类型

优点：传递功率范围大、传动效率高、传动比准确、使用寿命长、工作可靠；缺点：对制造和安装精度要求高、成本较高。我国早在公元前400年左右就开始使用齿轮（指南车）。
按两轮轴线相对位置分三类：
平行轴：外啮合（转向相反）、内啮合（转向相同）、齿轮与齿条机构（齿条可视为齿心在无穷远处的圆形齿轮，作直线移动）；按齿向又分直齿轮（spur gear）、斜齿轮（helical gear）、人字齿轮（double-helical gear，可视为由螺旋角方向相反的两个斜齿轮所组成）。
相交轴：锥齿轮机构（bevel gear mechanism），有直齿和曲线齿之分；曲线齿锥齿轮（spiral bevel gear）传动平稳、承载能力高，常用于高速重载（汽车、拖拉机、飞机等）。
交错轴：交错轴斜齿轮机构（crossed helical）、蜗杆机构（worm and worm wheel）、准双曲面齿轮机构（hypoid gear）。
本章以直齿圆柱齿轮传动为重点作详细分析，再以此为基础介绍其他类型。

齿轮机构是在各种机构中应用最为广泛的一种传动机构。它依靠轮齿齿廓直接接触来传递空间任意两轴间的运动和动力，并具有传递功率范围大，传动效率高，传动比准确，使用寿命长、工作可靠等优点，但也存在对制造和安装精度要求高以及成本较高等缺点。

（出处：第10章·齿轮机构的特点及类型）

10-2 齿轮的齿廓曲线

齿廓（tooth profile）：圆柱齿轮的齿面与垂直于其轴线的平面的交线。
平均传动比恒等于齿数的反比：i₁₂=n₁/n₂=z₂/z₁（式10-1）；但瞬时传动比却与齿廓的形状有关。
齿廓啮合基本定律：两齿廓在 K 点接触，公法线 nn 与两轮连心线 O₁O₂ 的交点 P 即相对瞬心，故

i₁₂=ω₁/ω₂=O₂P/O₁P (10-2)

即传动比与连心线被公法线所分成的两段成反比。

定传动比条件：不论两轮齿廓在何位置接触，过接触点所作的两齿廓公法线与连心线交于一定点 P——节点（pitch point）。P 点在两轮运动平面上的轨迹分别为以 O₁、O₂ 为圆心、O₁P、O₂P 为半径的圆，即节圆（pitch circle）；传动过程中两节圆相切于 P 点且在 P 点速度相等（ω₁O₁P=ω₂O₂P，即作纯滚动）。变传动比时 P 点按传动比变化规律在连心线上移动，轨迹为非圆曲线，称节线（pitch curve），对应非圆齿轮机构（图10-5）。
共轭齿廓（conjugate tooth profile）：凡能按预定传动比规律相互啮合传动的一对齿廓。求共轭齿廓的方法很多，可用包络线法（图10-6）：依据传动比 i₁₂ 和中心距画出两轮节圆 S₁、S₂，其切点 P 即节点；在已知齿廓 K₁ 上取一系列点，作其法线与节圆 S₁ 的交点，按两节圆纯滚动原理反转到节圆 S₂，以这些点为圆心作圆族，其包络线即齿廓 K₂。
共轭齿廓的选择：能满足定传动比规律的共轭齿廓曲线很多，还必须从设计、制造、安装和使用等多方面综合考虑。对于定传动比传动的齿轮来说，目前最常用的齿廓曲线是渐开线，其次是摆线和变态摆线，近年来还有圆弧齿廓、抛物线齿廓和余弦齿廓等。

该式表明，相互啮合传动的一对齿轮，在任一位置时的传动比，都与其连心线O₁O₂被其啮合齿廓在接触点处的公法线所分成的两段成反比。这一规律称为齿廓啮合基本定律。

（出处：第10章·齿廓啮合基本定律）

10-3 渐开线齿廓及其啮合特点

渐开线的形成：当一直线 BK 沿一圆周作纯滚动时，直线上任意点 K 的轨迹 AK 就是该圆的渐开线（involute）。该圆称基圆（base circle，半径用 r_b 表示）；直线 BK 称发生线（generating line）；角 θ_k 称渐开线上 K 点的展角（evolving angle）。
渐开线特性（4条）：
发生线上 BK 线段长度等于基圆上被滚过的弧长 AB̂，即 BK=AB̂；
渐开线上任一点 K 处的法线必与其基圆相切，且切点 B 为渐开线 K 点的曲率中心，线段 BK 为曲率半径；渐开线上各点的曲率半径不同，离基圆越近，曲率半径越小，在基圆上其曲率半径为零；
渐开线的形状取决于基圆的大小。在展角相同处，基圆半径愈大，其渐开线的曲率半径也愈大（图10-8）。当基圆半径为无穷大时，其渐开线就变成一条直线，故齿条的齿廓曲线为直线；
基圆以内无渐开线。

渐开线的上述特性是研究渐开线齿轮啮合传动的基础。

压力角与渐开线函数：当此渐开线与其共轭齿廓在 K 点啮合时，齿廓在该点所受正压力的方向（即法线方向）与该点的速度方向（垂直 OK 方向）之间所夹的锐角 α_k，称为渐开线在该点的压力角。由 triangle BOK 可见

cosα_k=r_b/r_k (10-3)

又因 tanα_k=BK/r_b=AB̂/r_b=r_b(α_k+θ_k)/r_b=α_k+θ_k，故

inv α_k=θ_k=tanα_k-α_k (10-4)

展角 θ_k 是压力角 α_k 的函数，称渐开线函数（involute function）。由式(10-3)及(10-4)可得渐开线的极坐标方程（式10-5）：

r_k=r_b/cosα_k, θ_k=inv α_k=tanα_k-α_k

当采用直角坐标表示时（图10-9），其方程为（式10-6）：

x_k=r_ksin u_k-r_bu_kcos u_k, y_k=r_kcos u_k+r_bu_ksin u_k

式中 u_k=θ_k+α_k。（渐开线函数表可查本书所附学习光盘或本书第四、五版附录。）

啮合特点：
能保证定传动比传动且具有可分性：设 C₁、C₂ 为相互啮合的一对渐开线齿廓（图10-10），过啮合点 K 所作公法线必同时与两轮基圆相切（即两基圆的内公切线 N₁N₂）。由 triangle O₁N₁Pbacksimtriangle O₂N₂P 得

i₁₂=ω₁/ω₂=O₂P/O₁P=r_b2/r_b1 (10-7)

对每一个具体齿轮，其基圆半径为常数，故能保证定传动比传动。

渐开线齿廓之间的正压力方向不变：既然一对渐开线齿廓在任何位置啮合时，过接触点的公法线都是同一条直线 N₁N₂，说明所有的啮合点均在直线 N₁N₂ 上，故直线 N₁N₂ 是啮合接触点在固定平面中的轨迹，称其为啮合线（line of action）。齿轮传动过程中，两啮合齿廓间的正压力始终沿啮合线方向，故其传力方向不变，对于齿轮传动的平稳性有利。
由于渐开线齿廓还有加工工具简单、工艺成熟等优点，故其应用特别广泛。

因渐开线齿轮的基圆半径不会因齿轮位置的移动而改变，而当两轮实际安装中心距与设计中心距略有变动时，图10-10和式(10-7)仍成立，故不会影响两轮的传动比。渐开线齿廓传动的这一特性称为传动的可分性。

（出处：第10章·渐开线齿廓的啮合特点）

10-4 渐开线标准齿轮的基本参数和几何尺寸

各部分名称与符号（图10-11）：齿顶圆（tip or addendum circle，r_a,d_a）、齿根圆（root circle，r_f,d_f）、齿厚 s_i（任意圆周上一个轮齿两侧齿廓间的弧线长）、齿槽宽 e_i（齿槽两侧齿廓间的弧线长度）、齿距 p_i（相邻两齿同侧齿廓之间的弧线长度）：

p_i=s_i+e_i (10-8)

相邻两齿同侧齿廓之间的法线长度称法向齿距 p_n，由渐开线性质可知 p_n 等于基圆齿距 p_b；分度圆（reference circle）：为了便于齿轮设计和制造而选择的一个尺寸参考圆，其半径、直径、齿厚、齿槽宽和齿距分别以 r,d,s,e 和 p 表示；齿顶高 h_a（齿顶 top land 的径向高度）、齿根高 h_f（齿根 bottom land 的径向高度）、齿全高：

h=h_a+h_f (10-9)

基本参数：
齿数（number of teeth）z：齿轮在整个圆周上轮齿的总数；
模数（module）：定义为齿距 p 与 π 的比值（式10-10）：

m=p/π (10-10)

故齿轮的分度圆直径（式10-11）d=mz。模数 m 已标准化，表10-1为国家标准 GB/T 1357—2008 所规定的标准模数系列（第一系列：1、1.25、1.5、2、2.5、3、4、5、6、8、10、12、16、20、25、32、40、50；第二系列：1.125、1.375、1.75、2.25、2.75、3.5、4.5、5.5、(6.5)、7、9、11、14、18、22、28、35、45）。选用模数时应优先选用第一系列，其次是第二系列，括号内的模数尽可能不用（对斜齿轮是指法面模数）；

分度圆压力角（简称压力角）：同一渐开线齿廊上各点的压力角不同，通常所说的齿轮压力角指其分度圆上的压力角，以 α 表示：

α=arccos(r_b/r) (10-12)

或

r_b=rcosα=zm2cosα (10-13)

压力角是决定齿廓形状的主要参数；国家标准（GB/T 1356—2001）中规定，分度圆上的压力角为标准值 α=20^°。在一些特殊场合（如工程机械、航空工业等），α 也允许采用其他的值；

齿顶高系数和顶隙系数：齿顶高与其模数的比值称齿顶高系数（addendum coefficient），用 h_a^* 表示；一对啮合传动的齿轮中，一个齿轮的齿顶圆与另一个齿轮齿根圆之间的径向距离称顶隙（或径向间隙），顶隙与模数的比值称顶隙系数（clearance coefficient），用 c^* 表示。国家标准 GB/T 1356—2001 中规定：h_a^*=1，c^*=0.25。
渐开线标准齿轮：是指 m、α、h_a^*、c^* 均为标准值，而且分度圆齿厚等于齿槽宽的渐开线齿轮。
表10-2 渐开线标准直齿圆柱齿轮传动几何尺寸的计算公式：

模数 m（根据齿轮受力情况和结构需要确定，选取标准值）；压力角 α（选取标准值）；分度圆直径 d₁=mz₁、d₂=mz₂；齿顶高 h_a=h_a=h_a^*m，即 h_a=h_a^*m；齿根高 h_f=(h_a^*+c^*)m；齿全高 h=(2h_a^*+c^*)m；齿顶圆直径 d_a=(z+2h_a^*)m；齿根圆直径 d_f=(z-2h_a^*-2c^*)m；基圆直径 d_b=dcosα；齿距 p=π m；基圆齿距（法向齿距）p_b=pcosα；齿厚 s=π m/2；齿槽宽 e=π m/2；任意圆（半径为 r_i）齿厚 s_i=sr_i/r-2r_i(inv α_i-inv α)；顶隙 c=c^*m；标准中心距 a=m(z₁+z₂)/2；节圆直径 d'（当中心距为标准中心距 a 时）d'=d；传动比 i₁₂=ω₁/ω₂=z₂/z₁=d₂'/d₁'=d₂/d₁=d_b2/d_b1。

齿条（图10-12）与齿轮相比的三个主要特点：
齿条相当于齿数无穷多的齿轮，故齿轮中的圆在齿条中都变成了直线，即齿顶线、分度线、齿根线；
齿条的齿廓是直线，所以齿廓上各点的法线是平行的；又由于齿条作直线移动，故其齿廓上各点的压力角相同，并等于齿廓直线的齿形角 α；
齿条上各同侧齿廓是平行的，所以在与分度线平行的各直线上其齿距相等（即 p_t=p=π m）。

齿条的基本尺寸可参照外齿轮的计算公式进行计算。

内齿轮（图10-13）与外齿轮比较的不同点：
内齿轮的轮齿相当于外齿轮的齿槽，内齿轮的齿槽相当于外齿轮的轮齿；
内齿轮的齿根圆大于齿顶圆；
为了使内齿轮齿顶的齿廓全部为渐开线，其齿顶圆必须大于基圆。

10-5 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动

一对渐开线齿轮正确啮合的条件：渐开线齿廓能够满足定传动比传动，但不等于说任意两个渐开线齿轮都能搭配起来正确地啮合传动。一对渐开线齿轮在传动时，它们的齿廓啮合点都应位于啮合线 N₁N₂ 上，因此要使齿轮能正确啮合传动，应使处于啮合线上的各对轮齿都能同时进入啮合，为此两齿轮的法向齿距应相等，即

p_b1=π m₁cosα₁=p_b2=π m₂cosα₂, m₁cosα₁=m₂cosα₂ (10-14)

（此式是渐开线齿轮正确啮合的一般条件式。）由于模数和压力角均已标准化，为满足上式应使

m₁=m₂=m, α₁=α₂=α (10-15)

故一对渐开线齿轮正确啮合的条件是两轮的模数和压力角应分别相等。

齿轮传动的中心距及啮合角：中心距的变化虽然不影响传动比，但会改变顶隙和齿侧间隙等的大小。在确定其中心距时，应满足以下两点要求：
保证两轮的顶隙为标准值：在一对齿轮传动中，为避免一轮的齿顶与另一轮的齿槽底部及齿根过渡曲线部分相抵触，并有一定空隙以便储存润滑油，故在一轮的齿顶圆与另一轮的齿根圆之间留有顶隙（bottom clearance）。为使顶隙为标准值 c=c^*m，对于图10-15a所示的标准齿轮外啮合传动，两轮的中心距

a=r_a1+c+r_f2=(r₁+h_a^*m)+c^*m+(r₂-h_a^*m-c^*m)=r₁+r₂=m(z₁+z₂)2 (10-16)

即两轮的中心距应等于两轮分度圆半径之和，此中心距称为标准中心距；

保证两轮的理论齿侧间隙为零：虽然在实际齿轮传动中，在两轮的非工作齿廓间总要留有一定的齿侧间隙（backlash），但齿侧间隙一般都很小，由制造公差来保证。故在计算齿轮的名义尺寸和中心距时，都是按齿侧间隙为零来考虑的。欲使一对齿轮在传动时其齿侧间隙为零，需使一个齿轮在节圆上的齿厚等于另一个齿轮在节圆上的齿槽宽。
由于一对齿轮啮合时两轮的节圆总是相切的，而当两轮按标准中心距安装时，两轮的分度圆也是相切的，即 r₁'+r₂'=r₁+r₂。又因 i₁₂=r₂'/r₁'=r₂/r₁，故此时两轮的节圆分别与其分度圆重合。由于分度圆上的齿厚与齿槽宽相等，因此有 s₁'=e₁'=s₂'=e₂'=π m/2，故标准齿轮在按标准中心距安装时无齿侧间隙。
啮合角（working pressure angle）：两齿轮在啮合传动时，其节点 P 的圆周速度方向与啮合线 N₁N₂ 之间所夹的锐角，通常用 α' 表示。由此定义可知，啮合角等于节圆压力角。当两轮按标准中心距安装时，啮合角也等于分度圆压力角（图10-15a）。
当两轮的实际中心距 a' 与标准中心距 a 不相同时，如将中心距增大（图10-15b），这时两轮的分度圆不再相切，而是相互分离。两轮的节圆半径将大于各自的分度圆半径，其啮合角 α' 也将大于分度圆的压力角 α。因 r_b=rcosα=r'cosα'，故有 r_b1+r_b2=(r₁+r₂)cosα=(r₁'+r₂')cosα'，可得齿轮的中心距与啮合角的关系式为

a'cosα'=acosα (10-17)

齿轮与齿条啮合传动（图10-16）：不论是是否为标准安装，齿条的直线齿廓总是保持原来的方向不变，因此啮合线 N₁N₂ 及节点 P 的位置始终保持不变。故齿轮的节圆恒与其分度圆重合，其啮合角 α' 恒等于分度圆压力角 α。只是在非标准安装时，齿条的节线与其分度线将不再重合。
齿轮内啮合传动（图10-17），其标准中心距为

a=r₂-r₁=m(z₂-z₁)2 (10-18)

当两轮分度圆分离时，即实际中心距小于标准中心距时，啮合角将小于分度圆压力角。

齿轮的连续传动条件与重合度：齿轮传动是通过轮齿交替啮合来实现的，为了保证传动的连续性，要求在前一对齿脱开啮合之前，后一对齿已进入啮合，此条件称为连续传动条件。设轮1为主动轮，沿顺时针方向回转，轮2为从动轮，直线 N₁N₂ 为啮合线。一对轮齿在 B₂ 点（从动轮2的齿顶圆与啮合线 N₁N₂ 的交点）开始进入啮合，在 B₁ 点（主动轮1的齿顶圆与啮合线 N₁N₂ 的交点）脱开啮合。故一对轮齿的啮合点实际所走过的轨迹只是啮合线 N₁N₂ 上的 B₁B₂ 一段，称其为实际啮合线段。因基圆以内没有渐开线，故啮合线 N₁N₂ 是理论上可能达到的最长啮合线段，称其为理论啮合线段，N₁、N₂ 点称为啮合极限点。为满足齿轮连续传动的要求，实际啮合线段 B₁B₂ 应大于齿轮的法向齿距 p_b（图10-19）。B₁B₂ 与 p_b 的比值 ε_α 称为齿轮传动的重合度（contact ratio），为了确保齿轮传动的连续，应使 ε_α 值大于或等于许用值 [ε_α]，即

ε_α=B₁B₂/p_b≥[ε_α] (10-19)

许用 [ε_α] 的推荐值见表10-3：一般机械制造业 1.4；汽车拖拉机 1.1~1.2；金属切削机床 1.3。重合度 ε_α 的计算，由图10-20不难推得

ε_α=[z₁(tanα_a1-tanα')+z₂(tanα_a2-tanα')]/(2π) (10-20)

式中 α' 为啮合角，z₁,z₂ 及 α_a1,α_a2 分别为齿轮1、2的齿数及齿顶圆压力角。重合度的大小表示同时参与啮合的轮齿对数的平均值。重合度大，意味着同时参与啮合的轮齿对数多，对提高齿轮传动的平稳性和承载能力都有重要意义。由式(10-20)可见，重合度 ε_α 与模数 m 无关，而随齿数 z 的增多而加大；对于按标准中心距安装的标准齿轮传动，当两轮的齿数趋于无穷大时的极限重合度 ε_αmax=1.981。重合度 ε_α 还随啮合角 α' 的减小和齿顶高系数 h_a^* 的增大而增大。

10-6 渐开线齿廓的切制原理与根切现象

齿廓切制的基本原理：近代齿轮加工的方法很多，如铸造、模锻、冲压、冷轧、热轧、粉末冶金和切削加工等，其中最为常用的为切削加工法。就其原理来说，切削法又可分为仿形法和范成法两种。
仿形法：在铣床上，采用刀刃形状与被切齿轮的齿槽两侧齿廓形状相同的铣刀逐个齿槽进行切削。因这种方法生产效率低、被切齿轮精度差，适合于单件精度要求不高或大模数的齿轮加工。
范成法（亦称展成法）：是目前齿轮加工中最常用的一种方法，如插齿、滚齿、磨齿等都属于这种方法。范成法是利用齿廓啮合基本定律来切制齿廓的：假想将一对相啮合的齿轮（或齿轮与齿条）之一作为刀具，而另一个作为轮坯，并使两者仍按原传动比传动，同时刀具作切削运动，则在轮坯上便可加工出与刀具齿廓共轭的齿廓。
齿轮插刀（图10-21）：可视为一个具有刀刃的外齿轮，其模数和压力角均与被加工齿轮相同。加工时，插刀沿轮坯轴线方向作往复切削运动，同时插刀与轮坯按恒定的传动比 i=ω_刀/ω_坯=z_坯/z_刀作范成运动。在切削之初，插刀还需向轮坯中心作径向进给运动，以便切出轮齿的高度。此外，为防止插刀向上退刀时擦伤已切好的齿面，轮坯还需作小距离的让刀运动。
齿条插刀（图10-22）：加工时，轮坯以角速度 ω 转动，齿条插刀以速度 v=rω 移动（即范成运动），式中 r 为被加工齿轮的分度圆半径。其切齿原理与用齿轮插刀切齿原理相似。
齿轮滚刀（图10-23）：不论用齿轮插刀还是齿条插刀加工齿轮，其切削都是不连续的，这就影响了生产率的提高。因此，在生产中更广泛地采用齿轮滚刀来加工齿轮。滚刀的形状为一开有刀口的螺旋。在用滚刀来加工直齿轮时，滚刀的轴线与轮坯端面之间的夹角应等于滚刀的导程角 γ（图10-23c）。这样，在切削啮合处滚刀螺纹的切线方向恰与轮坯的齿向相同，而滚刀在轮坯端面上的投影相当于一个齿条（图10-23d）。滚刀转动时，一方面产生切削运动，另一方面相当于齿条在移动，从而与轮坯转动一起构成范成运动。故滚刀切制齿轮的原理与齿条插刀相似，只不过用滚刀的螺旋运动代替了插刀的切削运动和范成运动。此外，为了切制具有一定轴向宽度的齿轮，滚刀还需沿轮坯轴线方向作缓慢的进给运动。
用范成法加工齿轮时，只要刀具的模数、压力角与被切齿轮的模数、压力角分别相等，则无论被加工齿轮的齿数多少，都可用同一把刀具来加工。
用范成法加工标准齿轮时齿条刀具的位置（图10-24）：所用标准齿条刀具的分度线必须与被切齿轮的分度圆相切并作纯滚动。由于标准齿条刀具分度线上的齿厚与齿槽宽相等，故被加工齿轮的分度圆齿槽宽与齿厚也相等。
根切现象及其原因（图10-25、10-26）：用范成法切制齿轮时，有时刀具的顶部会过多地切入轮齿根部，因而将齿根的渐开线齿廓切去一部分，这种现象称为轮齿的根切。产生严重根切的齿轮，轮齿的抗弯强度降低，对传动不利，因此应避免严重根切的发生。原因：切制时刀具的刀刃将从啮合线上 B₁ 点（位置Ⅰ）开始形成被切齿轮的渐开线齿廓，切至啮合线与刀具齿顶线的交点 B₂ 处，被切齿轮齿廓的渐开线部分已全部形成。若 B₂ 点位于啮合极限点 N₁ 之下，则被切齿轮的齿廓从 B₂ 点开始至齿顶为渐开线，而在 B₂ 点到齿根圆之间为一段由刀具齿顶圆角部分所形成的非渐开线过渡曲线（fillet）。若被切齿轮的齿数较少，使其啮合极限点 N₁ 落在刀具齿顶线之下时，如图10-26所示，刀具从位置Ⅱ继续切削到位置Ⅲ时，由于距离 N₁K 小于基圆内距离 N₁N₁'，因而使 N₁' 点附近的一部分齿根渐开线齿廓被刀具切去，造成轮齿的根切现象。
标准齿轮不发生根切的最少齿数：为了避免产生根切现象，则啮合极限点 N₁ 必须位于刀具齿顶线之上。即应使 PN₁sinα≥ h_a^*m，由此可求得被切齿轮不产生根切的最少齿数为

z_min=2h_a^*/sin²α (10-21)

当 h_a^*=1、α=20^° 时，z_min=17。（原书注：当齿轮有轻微根切时，增大了齿根圆半径，对轮齿抗弯强度有利，故工程上也常允许轮齿产生轻微根切，这时可取 z_min=14。）

用范成法切制齿轮时，有时刀具的顶部会过多地切入轮齿根部，因而将齿根的渐开线齿廓切去一部分，这种现象称为轮齿的根切。

（出处：第10章·渐开线齿廓的切制原理与根切现象）

10-7 渐开线变位齿轮简介

变位齿轮的概念：标准齿轮传动虽具有设计简单、互换性好等一系列优点，但也有一些不足之处：要求齿轮齿数 z≥ z_min，否则将产生根切现象；标准齿轮不适用于中心距 a'≠ a=m(z₁+z₂)/2 的场合——当 a'<a 时，无法安装；而当 a'>a 时，又会产生过大的齿侧间隙，影响传动的平稳性，且重合度也随之降低；另外，在一对相互啮合的标准齿轮中，由于小齿轮齿廓渐开线的曲率半径较小，齿根厚度也较薄，参与啮合的次数又较多，强度较低，影响到整个齿轮传动的承载能力。

为了改善标准齿轮的上述不足之处，就必须突破标准齿轮的限制，对齿轮进行必要的修正。现在最为广泛采用的是变位修正法（modifying method）。（如需要制造齿数少于17，而又不产生根切现象的齿轮，由式(10-21)可见，可采用减小齿顶高系数 h_a^* 及加大压力角 α 的方法；但减小 h_a^* 将使重合度减小，而增大 α 要采用非标准刀具。除这两种方法外，解决上述问题的最好方法是在加工齿轮时，将齿条刀具由标准位置相对于轮坯中心向外移出一段距离 xm（由图10-27中的虚线位置移至实线位置），从而使刀具的齿顶线不超过 N₁ 点，这样就不会再发生根切现象了。这种用改变刀具与轮坯的相对位置来切制齿轮的方法，即所谓变位修正法。）这时，刀具的分度线与齿轮的分度圆不再相切，这样加工出来的齿轮由于 s≠ e 已不再是标准齿轮，故称其为变位齿轮（modified gear）。齿条刀具移动的距离 xm 称为径向变位量，其中 m 为模数，x 称为径向变位系数（简称变位系数，modification coefficient）。当把刀具由齿轮轮坯中心移远时，称为正变位，x 为正值，这样加工出来的齿轮称为正变位齿轮；如果被切齿轮的齿数比较多，为了满足齿轮传动的某些要求，有时刀具也可以由标准位置移近被切齿轮的中心，此时称为负变位，x 为负值，这样加工出来的齿轮称为负变位齿轮。

避免发生根切的最小变位系数：用标准齿条形刀具加工齿轮时，为了避免被加工齿轮发生根切现象，应保证齿条刀具的齿顶线不超过极限啮合点 N₁。由图10-27可得

xm≥ h_a^*m-rsin²α=(h_a^*-z2sin²α)m

结合式(10-21)可得避免被加工齿轮发生根切现象的最小变位系数为

x_min=h_a^*(z_min-z)/z_min (10-22)

变位齿轮的几何尺寸：对于正变位齿轮，由于与被切齿轮分度圆相切的已不再是刀具的中线，而是刀具节线。刀具节线上的齿槽宽较分度线上的齿槽宽增大了 2KJ，由于轮坯分度圆与刀具节线作纯滚动，故知其齿厚也增大了 2KJ。而由 triangle lJK 可知，KJ=xmtanα。因此，正变位齿轮的齿厚为

s=π m/2+2KJ=(π/2+2xtanα)m (10-23)

又由于齿条型刀具的齿距恒等于 π m，故知正变位齿轮的齿槽宽为

e=(π/2-2xtanα)m (10-24)

又由图可见，当刀具采取正变位 xm 后，这样切出的正变位齿轮，其齿根高较标准齿轮减小了 xm，即

h_f=h_a^*m+c^*m-xm=(h_a^*+c^*-x)m (10-25)

而其齿顶高，若暂不计它对顶隙的影响，为了保持齿全高不变，应较标准齿轮增大 xm，这时其齿顶高为

h_a=h_a^*m+xm=(h_a^*+x)m (10-26)

其齿顶圆半径为

r_a=r+(h_a^*+x)m (10-27)

对于负变位齿轮，上述公式同样适用，只需注意到其实际系数 x 为负即可。将相同模数、压力角及齿数的变位齿轮与标准齿轮的尺寸相比较，由图10-28不难看出它们之间的明显差别来。

变位齿轮传动：
变位齿轮传动的正确啮合条件及连续传动条件与标准齿轮传动相同。
变位齿轮传动的中心距：变位齿轮传动中心距的确定也应满足无侧隙啮合和顶隙为标准值这两方面的要求。要满足无侧隙啮合，须要求其一轮在节圆上的齿厚应等于另一轮在节圆上的齿槽宽，即 s₁'=e₂'、s₂'=e₁'，而由此得节圆上的齿距

p'=s₁'+e₁'=s₂'+e₂' (a)

又因

p'p=r'r=cosαcosα'; p=π m (b)

而

s_i'=s_ir_i'r_i-2r_i'(inv α'-inv α) (i=1,2) (c)

式中 s_i 由式(10-23)求得，而 r_i=mz_i2。于是，由以上各式可求得两齿轮无侧隙啮合时其各参数的关系式为

inv α'=2tanα (x₁+x₂)/(z₁+z₂)+inv α (10-28)

式(10-28)称为无侧隙啮合方程（equation of engagement with zero backlash）。式中 z₁,z₂ 分别为两轮的齿数；α 为分度圆压力角；α' 为啮合角；inv α,inv α' 分别为 α,α' 的渐开线函数，其值可由已有的渐开线函数表查取；而 x₁,x₂ 分别为两轮的变位系数。式(10-28)表明，若两轮变位系数之和 (x₁+x₂) 不等于零，则其啮合角 α' 将不等于分度圆压力角 α。此时，两轮的实际中心距将不等于其标准中心距。设两轮作无侧隙啮合时其中心距为 a'，它与标准中心距之差为 ym，其中 m 为模数，y 称为中心距变动系数（centre distance modifying coefficient），则

a'=a+ym (10-29)

故

y=(z₁+z₂)(cosα/cosα'-1)/2 (10-30)

要保证两轮之间具有标准顶隙 c=c^*m，两轮的中心距 a'' 应等于

a''=r_a1+c+r_f2=r₁+(h_a^*+x₁)m+c^*m+r₂-(h_a^*+c^*-x₂)m=a+(x₁+x₂)m (10-31)

由式(10-29)与式(10-31)可知，如果 y=x₁+x₂，就可同时满足上述两个条件。但经证明，只要 x₁+x₂≠0，总是 x₁+x₂>y，即 a''>a'。工程上为了解决这一矛盾，采用如下办法：两轮按无侧隙中心距 a'=a+ym 安装，而将两轮的齿顶高各减短 Δ y m，以满足标准顶隙要求。Δ y 称为齿顶高降低系数，其值为

Δ y=(x₁+x₂)-y (10-32)

这时，齿轮的齿顶高为

h_a=h_a^*m+xm-Δ ym=(h_a^*+x-Δ y)m (10-33)

变位齿轮传动的类型及其特点：按照相互啮合的两轮的变位系数之和 (x₁+x₂) 之值的不同，可将变位齿轮传动分为三种基本类型：
x₁+x₂=0，且 x₁=x₂=0。此为标准齿轮传动。
x₁+x₂=0，且 x₁=-x₂≠0。此类齿轮传动称为等变位齿轮传动（又称高度变位齿轮传动）。根据式(10-28)、(10-17)、(10-30)和式(10-32)，由于 x₁+x₂=0，故

α'=α, a'=a, y=0, Δ y=0

即其啮合角等于分度圆压力角，中心距等于标准中心距，节圆与分度圆重合，齿顶高不需要降低。对于等变位齿轮传动，为有利于强度的提高，小齿轮应采用正变位，大齿轮采用负变位，使小、大齿轮的强度趋于接近，从而提高齿轮的承载能力。

x₁+x₂≠0。此类齿轮传动称为不等变位齿轮传动（又称角度变位齿轮传动）。当 x₁+x₂>0 时称为正传动；x₁+x₂<0 时称为负传动。
正传动：由于此时 x₁+x₂>0，根据式(10-28)、(10-17)、(10-30)、(10-32)可知：α'>α、a'>a、y>0、Δ y>0。即在正传动中，其啮合角 α' 大于分度圆压力角 α，中心距 a' 大于标准中心距 a，两轮的分度圆分离，齿顶高都缩减。正传动的优点是可以减小齿轮机构的尺寸，能使齿轮机构的承载能力有较大提高。正传动的缺点是重合度减小较多。
负传动：由于 x₁+x₂<0，故 α'<α、a'<a、y<0、Δ y>0。负传动的缺点正好与正传动的优点相反，即其重合度略有增加，但轮齿的强度有所下降，所以负传动只用于配凑中心距这种特殊需要的场合中。

综上所述，采用变位修正法来制造渐开线齿轮，不仅可以避免根切，还可以运用这种方法来提高齿轮机构的承载能力，配凑中心距和减小机构的几何尺寸等，并且仍可采用标准刀具加工，并不增加制造的困难。正因为如此，其在各重要传动中被广泛地采用。

变位齿轮传动的设计步骤：从机械原理角度来看，遇到的变位齿轮传动设计问题可以分为如下两类。
已知中心距的设计。这时的已知条件是 z₁,z₂,m,α,a'，其设计步骤如下：

① 由式(10-17)确定啮合角：α'=arccos[(acosα)/a']； ② 由式(10-28)确定变位系数和：x₁+x₂=(inv α'-inv α)(z₁+z₂)/(2tanα)； ③ 由式(10-29)确定中心距变动系数：y=(a'-a)/m； ④ 由式(10-32)确定齿顶高降低系数：Δ y=(x₁+x₂)-y； ⑤ 分配变位系数 x₁,x₂，并按表10-4计算齿轮的几何尺寸。

已知变位系数的设计。这时的已知条件是 z₁,z₂,m,α,x₁,x₂，其设计步骤如下：

① 由式(10-28)确定啮合角：inv α'=2tanα(x₁+x₂)/(z₁+z₂)+inv α； ② 由式(10-17)确定中心距：a'=acosα/cosα'； ③ 由式(10-29)及式(10-32)确定中心距变动系数 y 及齿顶高降低系数 Δ y； ④ 按表10-4计算变位齿轮的几何尺寸。

表10-4 外啮合直齿圆柱齿轮传动的计算公式（摘要）：变位系数——标准齿轮传动 x₁=x₂=0；等变位齿轮传动 x₁=-x₂、x₁+x₂=0；不等变位齿轮传动 x₁+x₂≠0。节圆直径——标准及等变位 d_i'=d_i=z_im（i=1,2）；不等变位 d_i'=d_icosα/cosα'。啮合角——标准及等变位 α'=α；不等变位 cosα'=(acosα)/a'。齿顶高——标准 h_a=h_a^*m；等变位 h_a=(h_a^*+x_i)m；不等变位 h_a=(h_a^*+x_i-Δ y)m。齿根高——h_f=(h_a^*+c^*-x_i)m。齿顶圆直径 d_ai=d_i+2h_ai；齿根圆直径 d_fi=d_i-2h_fi。中心距——标准及等变位 a=(d₁+d₂)/2；不等变位 a'=(d₁'+d₂')/2。中心距变动系数——标准及等变位 y=0；不等变位 y=(a'-a)/m。齿顶高降低系数——标准及等变位 Δ y=0；不等变位 Δ y=x₁+x₂-y。

10-8 斜齿圆柱齿轮传动

螺旋角 β：斜齿轮的齿廓曲面与其分度圆柱面相交的螺旋线的切线与齿轮轴线之间所夹的锐角（以 β 表示），称为斜齿轮分度圆柱上的螺旋角（简称斜齿轮的螺旋角，helix angle）。齿轮螺旋的旋向有左、右之分，故螺旋角 β 也有正、负之别（图10-30）。
啮合特点：由于斜齿轮存在着螺旋角 β，故当一对斜齿轮啮合传动时，其轮齿是先由一端进入啮合逐渐过渡到轮齿的另一端而最终退出啮合，其齿面上的接触线先是由短变长，再由长变短（如图10-29所示）。因此，斜齿轮的轮齿在交替啮合时所受的载荷是逐渐加上，再逐渐卸掉的，所以传动比较平稳，冲击、振动和噪声较小，故适宜于高速、重载传动。
基本参数与几何尺寸计算：由于斜齿轮垂直于其轴线的端面齿形和垂直于螺旋线方向的法面齿形是不相同的，因此斜齿轮的端面参数与法面参数也不相同。又由于在切制斜齿轮的轮齿时，刀具进刀的方向一般是垂直于其法面的，故其法面参数（m_n,α_n,h_an^*,c_n^* 等）与刀具的参数相同，所以取为标准值。但在计算斜齿轮的几何尺寸时却需按端面参数（m_t,α_t,x_t,s_t 等）进行，因此就必须建立法面参数与端面参数的换算关系。

由斜齿轮沿其分度线的剖开图（图10-31）可见：

p_n=π m_n=p_tcosβ=π m_tcosβ

故得

m_t=m_n/cosβ (10-34)

由斜齿条的一个轮齿（图10-32，triangle ab'c 在法面上、triangle abc 在端面上，aĉ=a'ĉ/cosβ）可得

tanα_n=tanα_tcosβ (10-35)

斜齿轮在其端面上的分度圆直径为

d=zm_t=zm_n/cosβ (10-36)

斜齿轮传动的标准中心距为

a=(d₁+d₂)/2=m_n(z₁+z₂)/(2cosβ) (10-37)

由式(10-37)可知，可以用改变螺旋角 β 的方法来调整其中心距的大小。故斜齿轮传动的中心距常作圆整，以利加工。斜齿轮也可借助于变位修正的办法来满足各种不同的要求。其端面变位系数 x_t 与法面变位系数 x_n 之间的关系为

x_t=x_ncosβ (10-38)

但一般都按法面变位系数进行计算。

一对斜齿轮的啮合传动：
正确啮合条件：斜齿轮的正确啮合的条件，除了模数及压力角应分别相等（m_n1=m_n2，α_n1=α_n2）外，它们的螺旋角还必须满足如下条件：外啮合 β₁=-β₂；内啮合 β₁=β₂。
斜齿轮传动的重合度：图10-33a为直齿轮传动的啮合面，L 为其啮合区，故直齿轮传动的重合度为 ε_α=L/p_bt，式中 p_bt 为端面上的法向齿距。图10-33b为斜齿轮的啮合面，由于其轮齿是倾斜的，故其啮合区长为 L+Δ L，其总的重合度 ε_γ 为

ε_γ=(L+Δ L)/p_bt=ε_α+ε_β (10-39)

式中 ε_α=L/p_bt 为端面重合度。类似于直齿轮传动可得其计算公式为

ε_α=[z₁(tanα_at1-tanα_t')+z₂(tanα_at2-tanα_t')]/(2π) (10-40)

ε_β=Δ L/p_bt 为轴向重合度（纵向重合度），其计算公式为

ε_β=Bsinβ/(π m_n) (10-41)

斜齿轮的当量齿轮与当量齿数：为了切制斜齿轮和计算齿轮强度的需要，下面介绍斜齿轮法面齿形的近似计算。如图10-34所示，设经过斜齿轮分度圆柱面上的一点 C，作轮齿的法面，将斜齿轮的分度圆柱剖开，其剖面为一椭圆。现以椭圆上 C 点的曲率半径 ρ 为半径作一圆，作为一假想直齿轮的分度圆，以该斜齿轮的法面模数为模数、法面压力角为压力角，作一直齿轮，其齿形就是斜齿轮的法面近似齿形，称此直齿轮为斜齿轮的当量齿轮（virtual gear），而其齿数即为当量齿数（以 z_v 表示）。

由图可知，椭圆的长半轴 a=d/(2cosβ)，短半轴 b=d/2，而

ρ=a²/b=d/(2cos²β)

故得

z_v=2ρ/m_n=d/(m_ncos²β)=zm_t/(m_ncos²β)=z/cos³β (10-42)

渐开线标准斜齿圆柱齿轮不发生根切的最少齿数可由式(10-42)求得：

z_min=z_vmincos³β (10-43)

式中 z_vmin 为当量直齿标准齿轮不发生根切的最少齿数。

表10-5 斜齿圆柱齿轮的参数及几何尺寸的计算公式（摘要）：螺旋角 β（一般取 8^°∼20^°）；基圆柱螺旋角 tanβ_b=tanβcosα_t；法面模数 m_n（按表10-1取标准值）；端面模数 m_t=m_n/cosβ；法面压力角 α_n=20^°；端面压力角 tanα_t=tanα_n/cosβ；法面齿距 p_n=π m_n；端面齿距 p_t=π m_t=p_n/cosβ；法面基圆齿距 p_bn=p_ncosα_n；法面齿顶高系数 h_an^*=1；法面顶隙系数 c_n^*=0.25；分度圆直径 d=zm_n/cosβ；基圆直径 d_b=dcosα_t；最少齿数 z_min=z_vmincos³β；端面变位系数 x_t=x_ncosβ；齿顶高 h_a=m_n(h_an^*+x_n)；齿根高 h_f=m_n(h_an^*+c_n^*-x_n)；齿顶圆直径 d_a=d+2h_a；齿根圆直径 d_f=d-2h_f；法面齿厚 s_n=(π/2+2x_ntanα_n)m_n；端面齿厚 s_t=(π/2+2x_ttanα_t)m_t；当量齿数 z_v=z/cos³β。表注：1. m_n 应计算到小数后第四位，其余长度尺寸应计算到小数后三位；2. 螺旋角 β 的计算应精确到 ×××^°××'××''。
斜齿轮传动的主要优缺点：与直齿轮传动比较，斜齿轮传动具有下列主要的优点：1) 啮合性能好，传动平稳，噪声小；2) 重合度大，降低了每对轮齿的载荷，提高了齿轮的承载能力；3) 不产生根切的最少齿数少。

斜齿轮传动的主要缺点是在运转时会产生轴向推力，如图10-35a所示。其轴向推力为

F_a=F_ttanβ

当圆周力 F_t 一定时，轴向推力 F_a 随螺旋角 β 的增大而增大。为控制过大的轴向推力，一般取 β=8^°∼20^°。若采用人字齿轮（图10-35b），其所产生的轴向推力可相互抵消，故其螺旋角 β 可取为 25^°∼40^°。但人字齿轮制造比较麻烦，这是其缺点，故一般只用于高速重载传动中。

\*交错轴斜齿轮传动简介：交错轴斜齿轮传动是用来传递两交错轴之间的运动。就单个齿轮而言，它仍然是个斜齿圆柱齿轮，只是两轴线不平行而已。
正确啮合条件：图10-36所示为一对交错轴斜齿轮传动，两轮的分度圆柱相切于 P 点。两轮轴线在两轮分度圆柱公切面上的投影的夹角 Σ 为两轮的交错角（shaft angle）。设两斜齿轮的螺旋角分别为 β₁ 和 β₂，交错轴斜齿轮传动的正确啮合条件为

m_n1=m_n2, α_n1=α_n2, Σ=|β₁+β₂| (10-44)

中心距：如图10-36所示，两交错斜齿轮轴线间最短距离 a 即为其中心距

a=r₁+r₂=m_n(z₁/cosβ₁+z₂/cosβ₂)/2 (10-45)

传动比及从动轮的转向：因 z=d/m_t=dcosβ/m_n，故两轮的传动比为

i₁₂=ω₁/ω₂=z₂/z₁=d₂cosβ₂/(d₁cosβ₁) (10-46)

即交错轴斜齿轮传动的传动比不仅与分度圆的大小有关，还与螺旋角的大小有关。在图10-36所示的传动中，主动轮1及从动轮2在节点 P 处的速度分别为 v_P1 及 v_P2。由两构件重合点之间的速度关系可得

v_P2=v_P1+v_P2P1

式中，v_P2P1 为两齿廓啮合点沿公切线 tt 方向的相对速度。而由 v_P2 的方向即可确定从动轮的转向。在图10-37所示的传动中，其布置与图10-36所示相同，但两轮螺旋角的旋向与图10-36所示不同。经如上所述相同的分析可知，在主动轮转向相同的条件下，从动轮的转向与图10-36相反，即从动轮的转向还与两轮螺旋角的旋向有关。交错轴斜齿轮传动由于沿齿长方向有较大的相对滑动，齿面间为点接触，轮齿的磨损快，效率较低，故一般只用于仪表及载荷不大的传动中。

10-9 直齿锥齿轮传动

锥齿轮传动概述：锥齿轮传动用来传递两相交轴之间的运动和动力（图10-38），在一般机械中，锥齿轮两轴之间的交角 Σ=90^°（但也可以 Σ≠90^°）。锥齿轮的轮齿分布在一个圆锥面上，故在锥齿轮上有齿顶圆锥、分度圆锥和齿根圆锥等。又因锥齿轮是一个锥体，从而有大端和小端之分。为了计算和测量的方便，通常取锥齿轮大端的参数为标准值，即大端的模数按表10-6选取（锥齿轮标准模数系列，摘自 GB/T 12368—1990：…1、1.125、1.25、1.375、1.5、1.75、2、2.25、2.5、2.75、3、3.25、3.5、3.75、4、4.5、5、5.5、6、6.5、7、8、9、10…），其压力角一般为 20^°，齿顶高系数 h_a^*=1.0，顶隙系数 c^*=0.2。下面只讨论直齿锥齿轮传动。
直齿锥齿轮的背锥及当量齿轮（图10-39）：其中轮1的齿数为 z₁，分度圆半径为 r₁，分度圆锥角（reference cone angle）为 δ₁；轮2的齿数为 z₂，分度圆半径为 r₂，分度圆锥角 δ₂=90^°，其分度圆锥表面为一平面，这种齿轮称为冠轮（crown gear）。

过轮1大端节点 P，作其分度圆锥母线 OP 的垂线，交其轴线上 O₁ 点，再以 O₁ 点为锥顶，以 O₁P 为母线，作一圆锥与轮1的大端相切，称该圆锥为轮1的背锥（back cone）。同理，可作轮2的背锥，由于轮2为一冠轮，故其背锥成为一个圆柱面。若将两轮的背锥展开，则轮1的背锥将展成为一个扇形齿轮，而轮2的背锥则展成为一个齿条（图10-39b），即在其背锥展开后，两者相当于齿轮与齿条啮合传动。根据前面所述的范成原理可知，当齿条（即冠轮的背锥）的齿廓为直线时，锥齿轮在背锥上的齿廓为渐开线。现设想把展成的扇形齿轮的缺口补满，则将获得一个圆柱齿轮。这个假想的圆柱齿轮称为锥齿轮的当量齿轮，其齿数 z_v 称为锥齿轮的当量齿数。当量齿轮的齿形和锥齿轮在背锥上的齿形（即大端齿形）是一致的，故当量齿轮的模数和压力角与锥齿轮大端的模数和压力角是一致的。至于当量齿数，则可如下求得：由图10-39可见，轮1的当量齿轮的分度圆半径为

r_v1=O₁P=r₁/cosδ₁=z₁m/(2cosδ₁)

又知 r_v1=z_v1m/2，故得

z_v1=z₁/cosδ₁

对于任一锥齿轮有

z_v=z/cosδ (10-47)

借助锥齿轮当量齿轮的概念，可以把前面对于圆柱齿轮传动所研究的一些结论直接应用于锥齿轮传动。例如：根据一对圆柱齿轮的正确啮合条件可知，一对锥齿轮的正确啮合条件应为两轮大端的模数和压力角分别相等（对于标准直齿锥齿轮传动，还应保证两轮的分度圆锥共顶）；一对锥齿轮传动的重合度可以近似地按其当量齿轮传动的重合度来计算；为了避免轮齿的根切，锥齿轮不产生根切的最少齿数 z_min=z_vmincosδ；等等。

直齿锥齿轮传动几何参数和尺寸计算：前已指出，锥齿轮以大端参数为标准值，故在计算其几何尺寸时，也应以大端为准。如图10-40所示，两锥齿轮的分度圆直径分别为

d₁=2Rsinδ₁, d₂=2Rsinδ₂ (10-48)

式中，R 为分度圆锥锥顶到大端的距离，称为锥距（cone distance）；δ₁,δ₂ 分别为两锥齿轮的分度圆锥角（简称分锥角）。两轮的传动比为

i₁₂=ω₁/ω₂=z₂/z₁=d₂/d₁=sinδ₂/sinδ₁ (10-49)

当两锥齿轮之间的轴交角 Σ=90^° 时，则因 δ₁+δ₂=90^°，式(10-49)变为

i₁₂=ω₁/ω₂=z₂/z₁=d₂/d₁=cotδ₁=tanδ₂ (10-50)

在设计锥齿轮传动时，可根据给定的传动比 i₁₂，按式(10-50)确定两轮分锥角的值。至于锥齿轮齿顶圆锥和齿根圆锥的大小，则与两锥齿轮啮合传动时对其顶隙的要求有关。根据国家标准（GB/T 12369—1990、GB/T 12370—1990）规定，现多采用等顶隙锥齿轮传动，如图10-40所示。其两轮的顶隙从齿轮大端到小端是相等的，两轮的分度圆锥及齿根圆锥的锥顶重合于一点。但两轮的齿顶圆锥，因其母线各自平行于与之啮合传动的另一锥齿轮的齿根圆锥的母线，故其锥顶就不再与分度圆锥锥顶相重合了。这种圆锥顶相当于降低了齿轮小端齿顶高，从而减小了齿顶过尖的可能性；且齿根圆角半径较大，有利于提高齿轮的承载能力、刀具寿命和储油润滑。锥齿轮传动的主要几何尺寸的计算公式列于表10-7。

表10-7 标准直齿锥齿轮传动的几何参数及尺寸（Σ=90^°）（摘要）：分锥角 δ₁=arctan(z₁/z₂)，δ₂=90^°-δ₁；齿顶高 h_a=h_a^*m=m；齿根高 h_f=(h_a^*+c^*)m=1.2m；分度圆直径 d₁=mz₁、d₂=mz₂；齿顶圆直径 d_a1=d₁+2h_acosδ₁、d_a2=d₂+2h_acosδ₂；齿根圆直径 d_f1=d₁-2h_fcosδ₁、d_f2=d₂-2h_fcosδ₂；锥距 R=mz₁²+z₂²/2；齿根角 θ_f：tanθ_f=h_f/R；顶锥角 δ_a1=δ₁+θ_f、δ_a2=δ₂+θ_f；根锥角 δ_f1=δ₁-θ_f、δ_f2=δ₂-θ_f；顶隙 c=c^*m（一般取 c^*=0.2）；分度圆齿厚 s=π m/2；当量齿数 z_v1=z₁/cosδ₁、z_v2=z₂/cosδ₂；齿宽 B≤ R/3（取整）。表注：1. 当 m≤1 mm 时，c^*=0.25，h_f=1.25m；2. 各角度计算应准确到 ×××^°××'××''。

10-10 蜗轮蜗杆传动

蜗轮蜗杆传动及其特点：蜗轮蜗杆传动是用来传递空间交错轴之间的运动和动力的。最常用的是两轴交错角 Σ=90^° 的减速传动。如图10-41所示，在分度圆柱上具有完整螺旋齿的构件1称为蜗杆（worm），而与蜗杆相啮合的构件2则称为蜗轮（worm wheel）。通常，以蜗杆为原动件作减速运动。当其反行程不自锁时，也可以蜗轮为原动件作增速运动。蜗杆与螺旋相似，也有右旋与左旋之分，但通常取右旋居多。

蜗轮蜗杆传动的主要特点是：

由于蜗杆的轮齿是连续不断的螺旋齿，故传动特别平稳，啮合冲击及噪声都小。所以在现代一些减速比不需很大的超静传动中也常采用蜗轮蜗杆传动；
由于蜗杆的齿数（头数）少，故单级传动可获得较大的传动比（可达 1 000），且结构紧凑。在作减速动力传动时，传动比的范围为 5≤ i₁₂≤70。增速时，传动比 i₂₁=1/5∼1/15；
由于蜗轮蜗杆啮合轮齿间的相对滑动速度较大，摩擦磨损大，传动效率较低，易出现发热现象，故常需用较贵的减摩耐磨材料来制造蜗轮，成本较高；
当蜗杆的导程角 γ₁ 小于啮合轮齿间的当量摩擦角 φ_v 时，机构反行程具有自锁。在此情况下，只能由蜗杆带动蜗轮（此时效率小于 50%），而不能由蜗轮带动蜗杆。

蜗轮蜗杆传动的类型很多，其中阿基米德蜗轮蜗杆传动是最基本的，下面仅就这种蜗轮蜗杆传动作一简单介绍。

蜗轮蜗杆正确啮合的条件：图10-42所示为蜗轮与阿基米德蜗杆啮合的情况。过蜗杆的轴线作一平面垂直于蜗轮的轴线，该平面对于蜗杆是轴面，对于蜗轮是端面，这个平面称为蜗轮蜗杆传动的中间平面。在此平面内，蜗杆的齿廓相当于齿条，蜗轮的齿廓相当于一个齿轮，即在中间平面上两者相当于齿条与齿轮啮合。因此，蜗轮蜗杆的正确啮合条件为蜗杆的轴面模数 m_x1 及压力角 α_x1 分别等于蜗轮的端面模数 m_t2 和压力角 α_t2，且均取为标准值 m 和 α，即

m_x1=m_t2=m, α_x1=α_t2=α

当蜗杆与蜗轮的轴线交错角 Σ=90^° 时，还需保证蜗杆的导程角等于蜗轮的螺旋角，即 γ₁=β₂，且两者螺旋线的旋向相同。

蜗轮蜗杆传动的主要参数及几何尺寸：
齿数：蜗杆的齿数亦称为蜗杆的头数，用 z₁ 表示。一般可取 z₁=1∼10，推荐取 z₁=1,2,4,6。当要求传动比大或反行程具有自锁性时，常取 z₁=1，即单头蜗杆；当要求具有较高传动效率时，z₁ 应取大值。蜗轮的齿数 z₂ 则可根据传动比计算而得。对于动力传动，一般推荐 z₂=29∼70。
模数：蜗杆模数系列与齿轮模数系列有所不同。蜗杆模数系列见表10-8（蜗杆模数 m 值，摘自 GB/T 10088—1988，优先采用第一系列；第一系列：1、1.25、1.6、2、2.5、3、3.15、4、5、6.3、8、10、12.5、16、20、25、31.5、40；第二系列：1.5、3、3.5、4.5、5.5、6、7、12、14）。
压力角：国家标准 GB/T 10087—1988 规定，阿基米德蜗杆的压力角 α=20^°。在动力传动中，允许增大压力角，推荐用 25^°；在分度传动中，允许减小压力角，推荐用 15^° 或 12^°。
蜗杆的分度圆直径：因为在用蜗轮滚刀切制蜗轮时，滚刀的分度圆直径必须与工作蜗杆的分度圆直径相同，为了限制蜗轮滚刀的数目，国家标准中规定将蜗杆的分度圆直径标准化，且与其模数相匹配。d₁ 与 m 匹配的标准系列见表10-9（摘自 GB/T 10085—1988，括号中的数字尽可能不采用；如 m=1 配 d₁=18；m=1.25 配 20、22.4；m=2 配 (18)、22.4、(28)、35.5；m=8 配 (63)、80、(100)、140 等）。
蜗轮蜗杆传动的中心距：

a=r₁+r₂ (10-51)

当蜗杆的导程角γ₁小于啮合轮齿间的当量摩擦角φv时，机构反行程具有自锁。在此情况下，只能由蜗杆带动蜗轮（此时效率小于50%），而不能由蜗轮带动蜗杆。

（出处：第10章·蜗轮蜗杆传动）

\*10-11 其他齿轮传动简介

渐开线齿廓的固有缺点：1) 由于受渐开线齿廓的限制，齿廓曲线的曲率半径相对较小，在尺寸一定的条件下，齿轮的承载能力难以再大幅度提高；2) 渐开线齿轮传动由于制造、安装误差以及变形等原因，易产生载荷向齿轮一端集中的现象，降低了齿轮的承载能力；3) 渐开线齿轮传动由于两轮齿廓在不同位置啮合时，齿面间的相对滑动速度不同，因而使齿廓各部分的磨损不均匀。
圆弧齿轮传动简介：用渐开线作为齿廓曲线虽有许多优点，但也存在一些固有的缺陷。人们一直在研究新型的齿廓曲线，下面对其中的应用日趋广泛的圆弧齿轮（circular-arc gear）机构加以简要介绍。圆弧齿轮的端面齿廓或法面齿廓为圆弧，其中，小齿轮的齿廓为凸圆弧，而大齿轮的齿廓为凹圆弧（图10-43b）。这种齿轮的轮齿必须是斜齿。圆弧齿轮具有如下优点：1) 综合曲率半径大，且为凹凸啮合，故在齿轮尺寸和材料相同的情况下，圆弧齿轮的承载能力约为渐开线齿轮的 1.5~2 倍；2) 因圆弧齿轮经磨合后才变为沿齿高方向的线接触，故对制造误差及变形不敏感；3) 由于圆弧齿轮没有根切问题，所以其最少齿数不受根切的限制，故径向尺寸可以更小。圆弧齿轮也有下列一些缺点：1) 圆弧齿轮传动若有中心距误差，将使其承载能力显著降低，故对中心距的精度要求较高；2) 轴向尺寸较大。这是因为圆弧齿轮传动的端面重合度 ε_α=0，要保证两轮传动的重合度，必须要有足够大的齿宽 B；3) 凸齿面的齿轮及凹齿面的齿轮要用两把刀具来加工。为了克服上述缺点，近年来采用了一种双圆弧齿轮（double-circular-arc gear），如图10-44所示。在这种齿轮传动中，相互啮合的一对齿轮其齿顶均为凸圆弧，而齿根均为凹圆弧。大、小齿轮只需一把刀具加工。双圆弧齿轮目前已在高速大动力的齿轮传动中获得了广泛的应用。
摆线齿轮及钟表齿轮传动简介：在仪表和钟表传动中，尤其在增速传动时，也常采用摆线齿轮（cycloid gear）传动，其齿廓由内、外摆线组成（图10-45）。摆线齿轮传动的优点是：不产生根切的最少齿数小（只有 6 齿），传动效率高（尤其在增速传动时）；缺点是对中心距误差敏感，传动精度不及渐开线齿轮传动。由于摆线加工较困难，故在要求不高的齿轮传动中，为便于制造，常用圆弧代替摆线。图10-46为三种圆弧齿廓的小齿轮齿形，这种齿轮主要用于钟表传动中，故称之为钟表齿轮（horologe gear）。
简易啮合齿轮传动：图10-47所示为一些简易啮合齿轮传动，由于其可用冲压或注塑成形，故制造方便，成本低廉；但其承载能力小，传动精度低，所以常用于受力不大、传动精度要求不高的场合，如玩具、廉价钟表等，尤其在玩具中应用很广。
面齿轮传动：面齿轮传动（face gear drive）是一种圆柱齿轮与圆锥齿轮相啮合的齿轮传动，其传动原理如图10-48所示。其中，齿轮1为渐开线直齿圆柱齿轮，齿轮2为圆锥齿轮，两轮轴线相交，其夹角为 Σ。因此，面齿轮传动实际上是圆柱齿轮与圆锥齿轮的啮合传动。当 Σ=90^° 时，圆锥齿轮的轮齿将分布在一个圆平面上，锥齿即为面齿轮，从而该传动为面齿轮传动。面齿轮传动是一种新型的齿轮传动，具有以下几个方面的优点：1) 当面齿轮传动中的圆柱齿轮为渐开线齿轮时，其轴向位置所产生的误差对面齿轮传动性能几乎没有影响，无需进行防错位设计。因此，面齿轮传动机构的设计、安装、调整方便，可以大大减少面齿轮装配所花费的时间；2) 当面齿轮传动中的圆柱齿轮为直齿圆柱齿轮时，直齿圆柱齿轮上无轴向力作用。因此在面齿轮传动机构的设计中，可以简化支承结构、减轻面齿轮传动的总体重量，这对于传动空间受到限制和结构重量要求严格的场合是非常有利的；3) 面齿轮传动与普通圆锥齿轮传动相比，具有较大的重合度。据有关文献报道，面齿轮传动在空载情况下的重合度一般可以达到 1.6~1.8，在负载情况下重合度会更高；4) 面齿轮用于传动装置时产生的振动小、噪声低。图10-49是新型直升机主减速器上所用的冗余驱动的面齿轮传动。面齿轮传动存在如下缺点：1) 面齿轮用直齿渐开线齿轮刀具范成加工，齿轮刀具的齿数应比啮合传动圆柱齿轮齿数多 1~3 个齿，因而所需的刀具数量多，且啮合传动理论上为点啮合；2) 由于受根切和齿顶变尖的限制，面齿轮的齿宽不能设计得太宽，从而使面齿轮的承载能力受到了影响。

\*10-12 齿轮机构动力学简介

概述：随着科技的进步，人们对齿轮传动系统提出了越来越高的要求。齿轮系统的静态分析和设计方法已难于满足现代设备对齿轮传动所提出的高要求，因此齿轮机构动力学问题一直受到人们的广泛关注。齿轮机构动力学是研究齿轮系统在传递运动和动力过程中的动力学行为的一门科学。它从动态激励、响应特性、系统设计等方面全面研究齿轮系统产生振动和噪声的机理、性质、特点和影响因素，探索降低齿轮系统的振动和噪声，以及提高传动可靠性的措施，为高质量齿轮系统的设计提供理论基础。20世纪50年代以前，用冲击作用下的单自由度系统的基础来表述齿轮系统的动力学行为；20世纪50年代以后，人们将齿轮系统视为弹性系统，以振动理论为基础，分析在啮合刚度、传递误差和啮合冲击作用下系统的动力学行为，从而奠定了现代齿轮机构动力学的基础。齿轮机构动力学经历了由线性振动理论向非线性振动理论的发展；由一对齿轮副组成的单自由度系统向同时包含齿轮、传动轴、轴承和箱体结构的多自由度系统的过渡。
齿轮机构动力学模型与分析方法：齿轮机构动力学模型主要有以下几种：
动载系数模型：在齿轮动力学研究的早期使用的单自由度模型，主要用来确定轮齿啮合的动载系数。
齿轮副扭转振动模型：以一对齿轮为分析对象，不考虑齿轮的横向振动，只考虑齿轮副的扭转振动（如图10-50所示）。图中 k_m,c_m 为啮合刚度和啮合阻尼，e(t) 为传递误差，R_B,R_G 为两轮基圆，I_B,I_G 为两轮转动惯量，T_B,T_G 为两轮转矩。这种模型主要用来研究齿轮的动态啮合问题。
齿轮机构耦合模型：以齿轮系统中的齿轮副、传动轴、原动机和负载为建模对象，形成扭转、横向、轴向等振动自由度相互耦合的动力学模型。该模型不但可以分析啮合轮齿的动载荷，而且可以确定系统中各参数间的耦合作用。
齿轮系统模型：这种模型同时以齿轮系统中的齿轮副、传动轴、原动机和负载以及支承结构作为建模对象，因此这种模型是综合模型，可以用于全面确定齿轮系统的动态特性，尤其适用于分析和研究齿轮系统的噪声的产生与传递。

求解方法有分析法和数值法两类。按求解方法的性质，又可分为时域法和频域法：由时域法可得到系统响应在时域的描述，用以研究系统动态特性随时间的变化规律；而频域法则研究系统响应在频域中的描述，用以阐明系统动态性能与各频率成分间的关系。此外，实验方法研究齿轮系统的动态特性也是极为重要的手段。

齿轮系统的激励描述：齿轮系统的激励分为内部激励和外部激励两大类。外部激励主要是指原动机的主动力矩、负载引起的激励。内部激励是在齿轮副啮合过程中由系统内部产生的，激励是齿轮机构动力学研究的重要内容。内部激励包括刚度激励、误差激励和啮合冲击激励。刚度激励是因啮合轮齿对数的变化导致啮合综合刚度周期变化，从而引起齿轮啮合力周期变化。刚度激励是一种参数激励，即使外载为零或为常量时，系统也会因刚度激励而产生振动。刚度激励主要与齿轮的设计参数有关，研究刚度激励，有助于改进齿轮传动系统的设计。由于加工、安装误差引起的误差激励，是啮合轮齿间的一种周期性位移激励。研究误差激励，可以为齿轮设计中有精度等级的确定和加工方法的选择提供指导。由于轮齿在进入和退出啮合时，啮入、啮出点的位置会偏离理论啮合点，产生非正确啮合，使啮合齿面间产生冲击，引起啮合冲击激励，这种激励与前两种激励的区别在于它是一种周期性的载荷激励。
齿轮机构动力学研究的内容：齿轮机构动力学研究的基本问题也是激励、系统和响应三者间的关系问题，从性质上说，有正问题和反问题两类。齿轮机构动力学的正问题是研究在已知系统及其工作环境的条件下，分析、求解系统的动态响应，其中包括齿轮振动描述、系统模型建立，以及响应的求解等问题；齿轮机构动力学的研究的反问题则是已知动态响应时应进行的反演识别（确定轮齿动载荷、故障诊断、模型的修正与精化等），涉及的范围较宽，但目前研究得较少，且主要集中在故障诊断方面。齿轮机构动力学研究的最主要内容是齿轮机构的动态特性，包括如下几个方面：
固有特性：固有特性指系统固有频率和振型，是齿轮系统的基本动态特性之一。
动态响应：动态响应主要包括轮齿动态啮合力、轮齿激励在系统中的传递，以及传动系统中各零件和箱体结构的振动频率与位移等。研究动态响应的目的在于通过系统的修改设计，降低系统各零件的振动，减小齿轮啮合冲击，提高寿命，降低振动和噪声。
动力稳定性：通过对齿轮系统动力稳定性的分析，评价影响稳定性的因素，确定稳定区与非稳定区，为齿轮系统的设计提供指导。
系统参数对齿轮系统动态特性的影响：在研究系统的各种动态性能时，重要的任务是研究齿轮系统的结构形式、几何参数等对这些性能的影响，可以通过动力学模型灵敏度分析，定量了解各类参数对系统特性影响的灵敏程度，在此基础上进行齿轮系统的动态优化设计。
齿轮系统动力学的应用：1) 动载系数的计算方法：动载系数是齿轮强度计算中用于考虑轮齿啮合力因系统振动而增大的指标，随着齿轮系统动力学理论的发展，使动载系数的计算方法更简洁、更可靠；2) 振动和噪声的控制：由齿轮系统动力学的研究，从动态激励、系统设计、响应特性三方面全面研究齿轮系统产生振动和噪声的机理、性质、特点和影响因素，采取相应的措施降低齿轮系统的振动和噪声；3) 状态监控和故障诊断：齿轮系统对整个机器设备的运行有重要影响，齿轮系统故障可能产生严重后果。系统振动信号和噪声信号的测试和分析是一种主要的监测和诊断手段。